Đáp án A

Phương trình 

Ta có 

Vật giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 

Đáp án A

Phương pháp.

Giả sử  Giả phương trình ban đầu để tìm được nghiệm  z 1 , z 2  Sử dụng giả thiết để đánh giá cho cho b. Đưa  về một hàm cho b và sử dụng ước lượng cho b ở phần trước để tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Lời giải chi tiết.

Tính toán ta tìm được hai nghiệm

Giả sử . Từ  ta suy ra

Áp dụng (1) ta nhận được

Do đó giá trị nhỏ nhất của  là  2016 - 1

Đạt được khi và chỉ khi  

Đáp án A

Đáp án A

Phương trình z 2 − z + 2017 2 = 0 ⇔ 4 z 2 − 4 z + 2017 = 0

⇔ 2 z − 1 2 = 2016 i 2 ⇔ z 1 = 1 − i 2016 2 z 2 = 1 + i 2016 2

Ta có z − z 1 + z − z 2 ≥ z − z 1 − z − z 2 = z − z 2 ≥ z 1 − z 2 − z − z 1 = 2016 − 1

Vật giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là  P min = 2016 − 1

Đáp án D

Cách 1 (cách hình học): Gọi M ( x ; y ) x . y ∈ ℝ  là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Có: z + 2 m = m + 1 ≥ 0  

TH1: m + 1 = 0 ⇔ ⇔ m = - 1 ⇒ z = 2  (loại) vì không thỏa mãn phương trình: z - 1 = z - i  

TH2: m + 1 > 0 ⇔ m > - 1  

Theo bài ra ta có:

z - 1 = z - i z + 2 m = m + 1 ⇔ x - 1 + y i = x + y - 1 i x + 2 m + y i = m + 1 ⇔ x - 1 2 + y 2 = x 2 + y - 1 2 x + 2 m 2 + y 2 = m + 1 2 ⇔ x - y = 0 1 x + 2 m 2 + y 2 = m + 1 2 2 *

Từ (1) suy ra: tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn của số phức z là đường thẳng: ( ∆ ) :   x - y = 0  

Từ (2) suy ra: tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn của số phức z là đường tròn

( C ) :   T â m   I ( - 2 m ; 0 ) b k   R = m + 1  

Khi đó: M ∈ ∆ ∩ ( C ) ⇒  số giao điểm M chính là số nghiệm của hệ phương trình (*).

Để tồn tại hai số phức phân biệt z 1 , z 2  thỏa mãn ycbt ⇔ ( C )  cắt ∆  tại hai điểm phân biệt

⇔ d I , ∆ < R ⇔ - 2 m 2 < m + 1 m + 1 > 0 ⇔ - m + 1 < 2 m < m + 1 m + 1 > 0 ⇔ 1 - 2 < m < 1 + 2 m > - 1

Vì m ∈ ℝ ⇒ m ∈ S 0 ; 1 ; 2 . Vậy tổng các phần tử của S là 0+1+2=3.

Cách 2 (cách đại số):

Giả sử: z = x + y i x ; y ∈ ℝ  

Có:  z + 2 m = m + 1 ≥ 0

TH1: m + 1 = 0 ⇔ ⇔ m = - 1 ⇒ z = 2  (loại) vì không thỏa mãn phương trình: z - 1 = z - i  

TH2: m + 1 > 0 ⇔ m > - 1  (1)

Theo bài ra ta có:

z - 1 = z - i z + 2 m = m + 1 ⇔ x - 1 + y i = x + y - 1 i x + 2 m + y i = m + 1 ⇔ x - 1 2 + y 2 = x 2 + y - 1 2 x + 2 m 2 + y 2 = m + 1 2 ⇔ y = x x + 2 m 2 + x 2 = m + 1 2 ⇔ y = x 2 x 2 + 4 m x + 3 m 2 - 2 m + 1 = 0 *

Để tồn tại hai số phức phân biệt z 1 , z 2  thỏa mãn ycbt PT (*) có 2 nghiệm phân biệt

⇔ ∆ ' = 4 m 2 - 2 ( 3 m 2 - 2 m - 1 ) = 2 - m 2 + 2 m + 1 > 0 ⇔ 1 - 2 < m < 1 + 2 ( 2 )

Kết hợp điều kiện (1) và (2),  m ∈ ℝ ⇒ m ∈ S = 0 ; 1 ; 2

Vậy tổng các phần tử của S là: 0+1+2=3

Chọn đáp án D.